Question

已知三条直线l₁：2x-y+a=0（a＞0），直线l₂：-4x+2y+1=0和直线l₃：x+y-1=0，且l₁与l₂的距离是

7

10

5

．
（1）求a的值；
（2）求l₃到l₁的角θ；
（3）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l₁的距离是P点到l₂的距离的

1

2

；③P点到l₁的距离与P点到l₃的距离之比是

2

：

5

？若能，求P点坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是两条平行直线间的距离、线线夹角及点到直线的距离公式，
（1）由l₁与l₂的距离是

7

10

5

，我们代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于a的方程，解方程即可求a的值；
（2）由已知中l₁：2x-y+a=0（a＞0），直线l₃：x+y-1=0，我们易得到直线l₃及l₁的斜率，代入tanθ=|

k1-k3

1+k1•k3

|，即可得到l₃到l₁的角θ；
（3）设P（x₀，y₀），由点到直线距离公式，我们可得到一个关于x₀，y₀的方程组，解方程组即可得到满足条件的点的坐标．

解答：解：（1）l₂即2x-y-

1

2

=0，
∴l₁与l₂的距离d=

|a-(- 1 2 )|

22+(-1)2

=

7 5

10

．
∴

|a+ 1 2 |

5

=

7 5

10

．∴|a+

1

2

|=

7

2

．
∵a＞0，∴a=3．
（2）由（1），l₁即2x-y+3=0，∴k₁=2．而l₃的斜率k₃=-1，
∴tanθ=

k1-k3

1+k1•k3

=

2-(-1)

1+2(-1)

=-3．
∵0≤θ＜π，∴θ=π-arctan3．
（3）设点P（x₀，y₀），若P点满足条件②，
则P点在与l₁、l₂平行的直线l′：2x-y+C=0上，
且

|C-3|

5

=

1

2

|C+ 1 2 |

5

，即C=

13

2

或C=

11

6

，
∴2x₀-y₀+

13

2

=0或2x₀-y₀+

11

6

=0；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有

|2x0-y0+3|

5

=

2

5

|x0+y0-1|

2

，
即|2x₀-y₀+3|=|x₀+y₀-1|，
∴x₀-2y₀+4=0或3x₀+2=0．
由P在第一象限，∴3x₀+2=0不可能．
联立方程2x₀-y₀+

13

2

=0和x₀-2y₀+4=0，应舍去．解得x₀=-3，y₀=

1

2

，
由2x₀-y₀+

11

6

=0，x₀-2y₀+4=0，
解得x₀=

1

9

，y₀=

37

18

．
∴P（

1

9

，

37

18

）即为同时满足三个条件的点．

点评：（1）线线间距离公式只适用两条平行直线，且要将直线方程均化为A、B值相等的一般方程．
（2）线线夹角只能为不大于90°的解，故tanθ=|

k1-k3

1+k1•k3

|．