Question

如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点．

（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）参考解析；（2）；（3），

试题分析：（1）根据题意，由于三角形ABE是等边三角形，所以以线段AB的中点为坐标原点建立空间直角坐标系.写出相应点的坐标，表示出向量AB与向量DE，并求出两个向量的数量积为零，所以两个向量垂直，及对应的两条直线垂直.
（2）平面与平面垂直关键是求出两个平面的法向量，再根据法向量的夹角的余弦值的绝对值等于锐二面角的余弦值.
（3）用待定系数的方法，假设存在该点Q，要满足平面，只需要向量PQ，与平面内任一两条直线所对应的向量的数量积为零即可，从而求出点Q的坐标即线段PQ的长.
试题解析：（1）证明：取中点，连结，
因为△是正三角形，所以.
因为四边形是直角梯形，，，
所以四边形是平行四边形，，
又，所以 .
所以平面，
所以.
（2）解：因为平面平面，
，所以平面，
所以.
如图所示，以为原点建立空间直角坐标系.

则，，，，.
所以 ,，
设平面的法向量为，则
，
令，则,.所以.
同理求得平面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则
.
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
（3）解：设，因为，
所以，,.
依题意即
解得 ，.
符合点在三角形内的条件.
所以，存在点，使平面，此时.