题目内容

为了迎接2014年3月30日在郑州举行的“中国郑开国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球（取出后不再放回），若抽到的两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖．并停止取球；否则继续抽取，第一次取球就抽中或一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几个印有‘郑开马拉松’的小球？”主持人说：“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美丽绿城行’标志的概率是
4
5
．”
（Ⅰ）求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数；
（Ⅱ）若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）设印有“美丽绿城行”的球有n个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A，则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是P(
.
A
)=
C
2
n
C
2
6
，由此能求出n=3．
（Ⅱ）由已知，两种球各三个，故η可能取值分别为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出η的分布列及期望．
解答： 解：（Ⅰ）设印有“美丽绿城行”的球有n个，
同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A，
则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是P(
.
A
)=
C
2
n
C
2
6
，（3分）
由对立事件的概率：P（A）=1-P(
.
A
)=
4
5
．
即P(
.
A
)=
C
2
n
C
2
6
=
1
5
，解得n=3．（5分）
（Ⅱ）由已知，两种球各三个，故η可能取值分别为1，2，3，（6分）．（7分）   
P(η=2)=
C
2
3
C
2
6
•
C
2
3
C
2
4
+
C
1
3
C
1
3
C
2
6
•
C
2
2
C
2
4
=
1
5
，（9分）
P(η=3)=1-P(η=1)-P(η=2)=
3
5
，
则η的分布列为：
η123
P
1
5
1
5
3
5
（11分）
所以Eη=1×
1
5
+2×
1
5
+3×
3
5
=
12
5
．（12分）
点评：本题考查小球个数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（　　）
A、2B、-2C、1+iD、1-i
已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-n+（1-t），则“t=1”是“数列{an}为等差数列”的（　　）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
下列函数中最小值是2的是（　　）
A、y=x+
1
x
B、y=sinθ+cosθ，θ∈（0，
π
2
）
C、y=
x
+
2
x
D、y=
x2+2
x2+1
若a∈R，则a=0是a（a-1）=0的（　　）
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件
C、充要条件
D、既不充分又不必要条件
已知函数f（x）=lnx-x-1，g（x）=
1
2
x2
（1）求函数f（x）的极大值；
（2）定义运算：
.
ab
dc
.
=ac-bd，其中a，b，c，d∈R
①若M（x）=
.
kf(x)
1g(x)
.
，k∈R，讨论函数M（x）的单调性；②设函数F（x）=f（x）+x+1，已知函数H（x）是F（x）的反函数，若关于x的不等式
.
mH(x+1)
H(F(x)+1)H(x+1)-1
.
＜1（m∈R）在x∈（0，+∞）上恒成立，求整数m的最大值．
已知椭圆M的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其短轴长为2，离心率为
3
2
．点P（x0，y0）为椭圆M内一定点（不在坐标轴上），过点P的两直线分别与椭圆交于点A，C和B，D，且AB∥CD．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）证明：直线AB的斜率为定值．
已知函数f（x）=ax-lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a＞0，设g（x）=x2+x+
5
4
，若对任意x1∈（0，+∞），总存在x2∈[-1，0]，使得f（x1）＞g（x2），求实数a的取值范围．
（I）已知集合A={x|x2-x-6＞0}，B={x|0＜x+a＜4}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若不等式mx2-mx+1＞0，对任意实数x都成立，求m的取值范围．

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