Question

对于集合{a₁，a₂…，a_n}和常数a₀，定义集合{a₁，a₂，…，a_n}相对a₀的“正弦方差W”：W=

sin2(a1-a0)+sin2(a2-a0)+…+sin2(an-a0)

n

．
设集合A={

π

4

，

7π

12

，

11π

12

}，证明集合A相对于任何常数θ的“正弦方差”μ是一个与常数θ无关的定值

Answer 1

分析：先根据题意表示出正弦方差μ，进而利用二倍角公式把正弦的平方转化成余弦的二倍角，进而利用两角和公式进一步化简整理，求得结果为

1

6

，为常数，原式得证．

解答：证明：集合A相对于任何常数θ的“正弦方差”μ
=

sin2( π 4 - θ)+sin2( 7π 12 -θ)+sin2(  11π 12 - θ )

3

=

1 2 - 1 2 cos ( π 2 -2θ)+ 1 2 - 1 2 cos (   7π 6 -2θ)+ 1 2 cos( 5π 6 -2 θ )- 1 2

3

=

1-sin2θ+cos π 6 cos2θ+sin π 6 sin2θ-cos π 6 cos2θ+sin π 6 sin2θ

6

=

1

6

，是一个与常数θ无关的定值．
原式得证．

点评：本题主要考查了三角函数中二倍角，两角和公式的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．