Question

对于集合{a₁，a₂…，a_n}和常数a₀，定义集合{a₁，a₂，…，a_n}相对a₀的“正弦方差W”：W=

sin2(a1-a0)+sin2(a2-a0)+…+sin2(an-a0)

n

．
设集合A={

π

4

，

7π

12

，

11π

12

}，证明集合A相对于任何常数θ的“正弦方差”μ是一个与常数θ无关的定值

Answer 1

证明：集合A相对于任何常数θ的“正弦方差”μ
=

sin2( π 4 - θ)+sin2( 7π 12 -θ)+sin2(  11π 12 - θ )

3

=

1 2 - 1 2 cos ( π 2 -2θ)+ 1 2 - 1 2 cos (   7π 6 -2θ)+ 1 2 cos( 5π 6 -2 θ )- 1 2

3

=

1-sin2θ+cos π 6 cos2θ+sin π 6 sin2θ-cos π 6 cos2θ+sin π 6 sin2θ

6

=

1

6

，是一个与常数θ无关的定值．
原式得证．