题目内容

已知函数 $数学公式$ ，其中b，c为常数且满足f（1）=4，f（2）=5．
（1）求b，c值；
（2）证明函数f（x）在区间（0，1）上是减函数，并判断f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（3）求函数 $数学公式$ 的值域．

解：（1）由f（1）=4，f（2）=5，
得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得b=2，c=0；
所以b=2，c=0．
（2）由（1）知：f（x）=2x+ $\text{[math]}$ ，设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=（ $\text{[math]}$ ）-（2 $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，①
因为0＜x₁＜x₂＜1，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，x₁x₂＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，1）上是减函数；
当1＜x₁＜x₂时，x₁-x₂0，由①式得f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）由（2）知 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减，在[1，3]上单调递增．
∴f（x）_min=f（1）=4．又 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
故所求值域为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由f（1）=4，f（2）=5列一方程组即解得；
（2）利用增函数及减函数的定义即可证明、判断单调性；
（3）借助（2）问的结论即可求得．
点评：本题考查函数的单调性及其应用，定义是证明函数单调性的常用方法，其步骤可分为：①取值；②作差；③变形；④判号；⑤结论．