Question

已知函数f(x)=

kx+b

x2+c

（c＞0且c≠1，k＞0）恰有一个极大值点和一个极小值点，且其中一个极值点是x=-c
（1）求函数f（x）的另一个极值点；
（2）设函数f（x）的极大值为M，极小值为m，若M-m≥1对b∈[1，

3

2

]恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出导函数，令导函数为0得到方程；两个极值点是此方程的两个根；利用韦达定理，求出另一个极值点．
（2）判断两个极值点左右两边的导函数的符号，求出极大值与极小值，代入已知不等式，解关于b的一次不等式恒成立，将区间两个端点代入不等式即可．

解答：解：（1）f′(x)=

-kx2-2bx+ck

(x2+c)2

=0时，x₁•x₂=-c
∵x=-c是其中一个极值点
∴另一个极值点为1
（2）由f′(-c)=0得k=

2b

c-1

由（1）可知，f（x）在-∞-c）是减函数；在（-c，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
∴M=f(1)=

k+b

1+c

，n=f(-c)=

-kc+b

c2+c

∴M-m=

k+b

1+c

-

-kc+b

c2+c

=

k

2

+

k2

2(k+2b)

≥1对b∈[1，

3

2

]恒成立
即（k-2）b+k²-k≥0对b∈[1，

3

2

]恒成立
∴

k2-k≥2-k k2-k≥(2-k)• 3 2

解得k≥

3

2

点评：解决函数的极值问题，要注意极值点处的导数值为0；解决一次不等式恒成立只需将区间的两个端点代入不等式．