Question

已知函数f(x)=2x+

b

x

+c，其中b，c为常数且满足f（1）=4，f（2）=5．
（1）求b，c值；
（2）证明函数f（x）在区间（0，1）上是减函数，并判断f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（3）求函数y=f(x)，x∈[

1

2

，3]的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=4，f（2）=5列一方程组即解得；
（2）利用增函数及减函数的定义即可证明、判断单调性；
（3）借助（2）问的结论即可求得．

解答：解：（1）由f（1）=4，f（2）=5，
得

2+b+c=4 4+ b 2 +c=5

，即

b+c=2 b 2 +c=1

，解得b=2，c=0；
所以b=2，c=0．
（2）由（1）知：f（x）=2x+

2

x

，设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=（2x1+

2

x1

）-（2x2+

2

x2

）=

2(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，①
因为0＜x₁＜x₂＜1，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，x₁x₂＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，1）上是减函数；
当1＜x₁＜x₂时，x₁-x₂0，由①式得f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）由（2）知f(x)=2x+

2

x

在[

1

2

，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增．
∴f（x）_min=f（1）=4．又f(

1

2

)=5，f(3)=

20

3

，
∴f(x)max=

20

3

．
故所求值域为[4，

20

3

]．

点评：本题考查函数的单调性及其应用，定义是证明函数单调性的常用方法，其步骤可分为：①取值；②作差；③变形；④判号；⑤结论．