Question

7．篮球比赛时，运动员的进攻成功率=投球命中率×不被对方运动员的拦截率．某运动员在距球篮10米（指到篮圈圆心在地面上射影的距离）以内的投球命中率有如下变化：距球篮1米以内（不含1米）为100%．距离球篮x米处，命中率下降至100%-10%[x]．该运动员投球被拦截率为$\frac{90%}{[x]+1}（{[x]为实数x的整数部分，如[{3.4}]=3}）$．试求该运动员在比赛时：（结果精确到1%）
（1）在三分线（约距球篮6.72米）处的进攻成功率为多少？
（2）在距球篮几米处的进攻成功率最大，最大进攻成功率为多少？

Answer 1

分析 （1）由已知条件分别求出投篮命中率、投篮不被拦截率及该运动员的进攻率，由此能求出在三分线（约距球篮6.72米）处的进攻成功率．
（2）由已知条件利用均值定理能求出在距球篮几米处的进攻成功率最大，并能求出最大进攻成功率．

解答 解：（1）依题意，投篮命中率为100%-10%[x]，投篮不被拦截率为$1-\frac{90%}{[x]+1}$；
故该运动员的进攻率（设为y）为y=（1-$\frac{90%}{[x]+1}$）（100%-10%[x]）=$（1-\frac{90%}{[x]+1}）（1-0.1[x]）$
设[x]+1=t，则[x]=t-1，y=（1-$\frac{0.9}{t}$）（1.1-0.1t）=1.19-（0.1t+$\frac{0.99}{t}$），
当x=6.72时，t=[6.72]+1=7，y≈0.35=35%．
（2）∵$0.1t+\frac{0.99}{t}≥2\sqrt{0.1t•\frac{0.99}{t}}$，
当且仅当$0.1t=\frac{0.99}{t}$，即t≈3.15取等号．
但t∈N^*，∴t=3或4时，y可能有最大值，当t=3时，y=0.56，当t=4时，y=0.54，
∴当t=3时，y有最大值0.56，这时[x]=2，即2≤x＜3．
答：在三分线处进攻率为35%，在距离球篮2至3米的进攻成功率最大，最大成功率为56%．

点评 本题考查概率在生产生活中的实际运用，是中档题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．