Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=

2

，PB⊥PD．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积．
（2）设点M在棱PC上，且

PM

MC

=λ，问λ为何值时，PC⊥平面BMD．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由题意分析找到题目中的图形关系，找到直角三角形，求边长OD，确定其体积；
（2）先作出PC⊥平面BMD．后求λ．

解答： 解：（1）设OD=x，
∵PB⊥PD；
则在Rt△BPD中，BO=2，PO=

2

，PO⊥BD，
则

OD

PD

=

PO

BP

，
即

x

x2+ 2 2

=

2

22+ 2 2

即

x2

x2+2

=

2

6

，
解得，x=1．
则S_ABCD=OB×OD+

1

2

OD²+

1

2

OB²
=2×1+

1

2

×1+

1

2

×2²=4

1

2

．
V_P-ABCD=

1

3

Sh=

1

3

×

9

2

×

2

=

3 2

2

．
（2）∵顶点P在底面上的射影恰为O点，
∴PO⊥平面ABCD，
又∵AC⊥BD，
∴BD⊥平面APC；
∴BD⊥PC，
则由过点B向直线PC作垂线BM交PC于点M，
则PC⊥平面BMD．
则点M即是所求的点．
在△PBC中，PB=

6

，PC=

1+ 2 2

=

3

，BC=

1+22

=

5

；
则cos∠BPC=

BP2+CP2-BC2

2•BP•CP

=

6+3-5

2× 6 × 3

=

2

3

．
PM=PB•cos∠BPC=

2 3

3

，
则MC=

3

3

．
则λ=

PM

MC

=2．
即，当λ=2时，PC⊥平面BMD．

点评：本题通过几何体中垂直分析，进行量的运算，作辅助线构成垂直，从而证明．是中档题．