Question

已知函数在上单调递减且满足.
（1）求的取值范围.
（2）设，求在上的最大值和最小值.

Answer 1

（1）；（2）当时，在取得最小值，
在上取得最大值.
当时， 在取得最大值，在时取得最小值.
当时，由，得.
当时，在时取得最小值，在时取得最大值.
当时，在时取得最大值，在时取得最小值，
当时，在时取得最小值；
当时，在时取得最小值.

试题分析：（1）注意到 ，
其导函数为
根据题意得到“对于任意.有”.所以结合二次函数的性质分类讨论.
具体情况有，， ，.
（2）注意到，，
讨论，，的情况.
而在时，要结合二次函数的图象和性质，具体地讨论①若，即；
②若，即的不同情况.
易错点在于分类讨论不全面.
试题解析：
（1）由得：
则 ，
依题意需对于任意.有.
当时，因为二次函数的图像开口向上，
而，所以需，即；
当时，对任意有，符合条件；
当时，对任意有，符合条件；
当时，因为，不符合条件.
故的取值范围为.
（2）因，，
当时，，在取得最小值，
在上取得最大值.
当时，对任意有，在取得最大值，在时取得最小值.
当时，由，得.
①若，即时，在上单调递增，在时取得最小值，在时取得最大值.
②若，即时，在时取得最大值，在时取得最小值，而，.则当时，在时取得最小值；
当时，在时取得最小值.