Question

已知四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱BB₁的中点，M为线段AC₁的中点

   （Ⅰ）求证：直线MF//平面ABCD；

   （Ⅱ）求证：平面AFC₁平面ACC₁A₁；

（Ⅲ）求平面AFC₁与平面ABCD所成二面角（锐角）的大小．

Answer 1

方法一：

   （Ⅰ）延长C₁F交CB的延长线于N，连结AN因为F是BB₁的中点，所以F为C₁N的中点，B为CN的中点

又M是线段AC₁的中点，故MF//AN．

平面，平面，

平面

   （Ⅱ）证明：连结BD，由直四棱柱―A₁B₁C₁D₁

可知：A₁A平面，

又平面

四边形为菱形，

又平面，

平面

在四边形中，且，所以四边形为平行四边形

故，平面

又平面，

    平面平面

   （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面，又平面

   ．

，

．

又由可知．

就是平面AFC₁与平面所成二面角的平面角．

在中，，故．

∴平面与平面所成二面角的大小为30°．

方法二：设因为M、O分别为、的中点，所以，

又有直四棱柱知平面，所以，平面．

在菱形中，所以，两两垂直，故以O为原点

所在直线分别为轴、轴、轴如图建立空间直角坐标系，

若设，则，，，，．

   （Ⅰ）由分别为、的中点可知：，

所以．

根据已知得．

平面，平面．

平面．

   （Ⅱ）为平面的法向量．

设为平面的一个法向量，则

由，，解得：

令，得，此时，．

由得平面平面．

   （Ⅲ）为平面的法向量，设平面与平面所成二面角

的大小为，则．

       根据已知得，即平面与平面所成二面角的大小为30°.