Question

16．已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）+$\frac{1}{2}$，且f（$\frac{1}{2}$）=0．给出以下结论：
①f（0）=-$\frac{1}{2}$；②f（-1）=-$\frac{3}{2}$；③f（x）为R上减函数；④f（x）+$\frac{1}{2}$为奇函数；
其中正确结论的序号是①②④．

Answer 1

分析 根据抽象函数的关系式，采用赋值法，可解决①②，在此基础上继续对各个选项逐一验证可得答案．

解答 解：①令x=y=0，
则f（0）=f（0）+f（0）+$\frac{1}{2}$，
即f（0）=-$\frac{1}{2}$，故①正确，
②令y=x=$\frac{1}{2}$，得f（1）=f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
令x=1，y=-1，得f（1-1）=f（1）+f（-1）+$\frac{1}{2}$=f（0），
即$\frac{1}{2}$+f（-1）+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$；
即f（-1）=-$\frac{3}{2}$，故②正确，
③取y=-1代入可得f（x-1）=f（x）+f（-1）+$\frac{1}{2}$，即f（x-1）-f（x）=f（-1）+$\frac{1}{2}$=-1＜0，即f（x-1）＜f（x），
故③f（x）为R上减函数，错误；
④令y=-x代入可-$\frac{1}{2}$=f（0）=f（x）+f（-x）+$\frac{1}{2}$，即f（x）+$\frac{1}{2}$+f（-x）+$\frac{1}{2}$=0，故f（x）+$\frac{1}{2}$为奇函数，故④正确，
故正确是①②④，
故答案为：①②④

点评 本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，利用赋值法是解决抽象函数常用的一种方法，考查学生的运算和推理能力．