题目内容
1．证明下列绝对值不等式：（1）|x-y|≥||x|-|y||
（2）|x1+x2+…+xn|≤|x1|+|x2|+…|xn|
（3）|x+x1+…+xn|≥|x|-（|x1|+…+|xn|）
分析 （1）用比较法证明|x-y|2≥||x|-|y||2，可得|x-y|≥||x|-|y||成立．
（2）分类讨论，证得结论成立．
（3）根据|x+x1+…+xn|≥|x|-|x1+…+xn|①，结合|x|-|x1+…+xn|≥|x|-（|x1|+…+|xn|）②，从而证得结论成立．
解答 解：（1）证明：∵|x-y|2-||x|-|y||2=x2-2xy+y2-（|x|2-2|x|•|y|+|y|2）=2|x|•|y|-2xy≥0，
∴|x-y|2≥||x|-|y||2，∴|x-y|≥||x|-|y||．
（2）证明：若x1、x2 、…、xn 中的各个数都是非负数或都是非正数，则|x1+x2+…+xn|=|x1|+|x2|+…|xn|，
若x1、x2 、…、xn 中的各数的符号不一致，则|x1+x2+…+xn|＜|x1|+|x2|+…|xn|，
综上可得，|x1+x2+…+xn|≤|x1|+|x2|+…|xn|．
（3）证明：∵|x+x1+…+xn|≥|x|-|x1+…+xn|①，且|x1+…+xn|≤|x1|+…+|xn|，
∴-|x1+…+xn|≥-|x1|+…+|xn|，∴|x|-|x1+…+xn|≥|x|-（|x1|+…+|xn|）②，
结合①②可得|x+x1+…+xn|≥|x|-（|x1|+…+|xn|）成立．
点评 本题主要考查用比较法证明不等式，绝对值不等式的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
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