题目内容
16.若函数f(x)=a-$\frac{1}{|x|}$(a为常数),若函数f(x)在区间[m,n]上的值域为[m,n](m<n),求实数a的取值范围.分析 可设y=f(x),由已知条件便知方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=a-\frac{1}{|x|}}\\{y=x}\end{array}\right.$至少有两个解,从而得到$x=a-\frac{1}{|x|}$至少有两个解,需讨论x:x>0,便有x2-ax+1=0至少一解,从而有$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}>0}\end{array}\right.$,这样可解出一个a的范围,同样的方法求出x<0时的a的范围,这两个范围求交集即可得出实数a的取值范围.
解答 解:设y=f(x),根据题意方程组:$\left\{\begin{array}{l}{y=a-\frac{1}{|x|}}\\{y=x}\end{array}\right.$至少有两个解;
∴$x=a-\frac{1}{|x|}$(1)至少有两个解;
①若x>0,上面方程变成x2-ax+1=0,则该方程在(0,+∞)上至少一个解;
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4≥0}\\{\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}>0}\end{array}\right.$;
解得a≥2;
②若x<0,方程(1)变成x2-ax-1=0,则该方程在(-∞,0)上至少有一个解;
∵△=a2+4>0;
∴a需满足$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}<0$,显然成立;
∴综上得实数a的取值范围为[2,+∞).
点评 考查函数值域的概念,将函数值域问题转变成方程组解的情况,一元二次方程有解时,判别式△的取值情况,以及一元二次方程的求根公式.
练习册系列答案
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