Question

12．函数f（x）=x²-2ax+a在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在区间（1，+∞）上的值域是（1-a，+∞）．

Answer 1

分析 求二次函数f（x）的对称轴，根据f（x）在（-∞，1）上有最小值即可得到a＜1，求出g（x）=x$+\frac{a}{x}-2a$，求导数，根据x＞1，以及a＜1，即可说明g′（x）＞0，从而说明函数g（x）为增函数，这样根据单调性即可得出函数g（x）的值域．

解答 解：f（x）的对称轴为x=a，f（x）在区间（-∞，1）上有最小值；
∴a＜1；
$g（x）=x+\frac{a}{x}-2a$，$g′（x）=\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$；
∵x＞1；
∴x²＞1，a＜1；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在（1，+∞）上单调递增；
∴g（x）＞g（1）=1-a；
∴原函数的值域为：（1-a，+∞）．
故答案为：（1-a，+∞）．

点评 考查函数值域的概念，二次函数的对称轴，及其最值，根据导数符号判断函数单调性，以及根据函数单调性求函数值域的方法．