Question

12．已知数列{a_n}满足a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{3}-a）n+8，n＞8}\\{{a}^{n-7}，n≤8}\end{array}\right.$，若对于任意的n∈N^*都有a_n＞a_n+1，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{3}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． [$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由已知数列{a_n}单调递减，从而0＜a＜1．根据$\frac{1}{3}$＜a＜1，0＜a＜$\frac{1}{3}$两种情况分灶讨论，能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵对于任意的n∈N^*都有a_n＞a_n+1，
∴数列{a_n}单调递减，可知0＜a＜1．
①当$\frac{1}{3}$＜a＜1时，n＞8，a_n=（$\frac{1}{3}$-a）n+2单调递减，
而a_n=a^n-7（n≤8）单调递减，
∴（$\frac{1}{3}$-a）×9+2≤a^8-7，解得a≥$\frac{1}{2}$，
因此$\frac{1}{2}$≤a＜1．
②当0＜a＜$\frac{1}{3}$时，n＞8，a_n=（$\frac{1}{3}$-a）n+2单调递增，应舍去．
综上可知：实数a的取值范围是 $\frac{1}{2}$≤a＜1．
故选：C．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．