Question

已知复数z₁=

3

+i，z₁=

3

+i，

.

z2

.

=2，且z₁•z₂²是虚部为负数的纯虚数，求复数z₂．

Answer 1

分析：设出纯虚数z₁•z₂²，表示出z₂，然后求出z22，再设出z₂的代数形式，平方后利用复数相等的条件列式求解．

解答：解：设z1•z22=-ai(a∈R+)，则|z1•z22|=a，得a=8．
于是z22=

-8i

3 +i

=-2-2

3

i，
设z₂=x+yi（x，y∈R），则(x+yi)2=-2-2

3

i，
即x2-y2+2xyi=-2-2

3

i．
∴

x2-y2=-2 xy=- 3

，解得

x=1 y=- 3

或

x=-1 y= 3

．
∴z2=1-

3

i或z2=-1+

3

i．

点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，训练了学生灵活处理问题和解决问题的能力，属基础题．