题目内容

已知数列{an}满足：a1=2且an+1=
2(n+1)an
an+n
（n∈N*）
（1）求证：数列{
n
an
-1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）证明：
a1
1
+
a2
2
+
a3
3
+…+
an
n
＜n+2（n∈N*）．
（本小题满分14分）
（1）由题得：an+1（an+n）=2（n+1）an，
即anan+1+nan+1=2（n+1）an，
故2(
n+1
an+1
-1)=
n
an
-1即数列{
n
an
-1}为等比数列，…（3分）
∴
n
an
-1=(-
1
2
)(
1
2
)n-1=-(
1
2
)n，
∴an=n+
n
2n-1
…（7分）
（2）由（1）知
an
n
=1+
1
2n-1
…（8分）
∴
a1
1
+
a2
2
+
a3
3
+…+
an
n
≤n+
1
20
+
1
21
+
1
22
+…+
1
2n-1

=n+
[1-(
1
2
)n]
1-
1
2
=n+2-(
1
2
)n-1
＜n+2
…（14分）
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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