Question

(本小题满分14分) 已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) .

(1) 当x=2时，求证：BD⊥EG ；

(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；

(3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.

Answer 1

（本小题满分14分）

解:（1）（法一）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。…………………………………………… 1分

则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）…………2分

（－2，2，2），（2，2，0）…………………………………………………3分

（－2，2，2）·（2，2，0）＝0，∴ ……………………………4分

（法二）作DH⊥EF于H，连BH，GH，……………1分

由平面平面知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH。

又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，

BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，………………… 3分

而BD平面DBH，∴ EG⊥BD。………………… 4分

（或者直接利用三垂线定理得出结果）

（2）∵AD∥面BFC，

所以 V_A-BFC＝＝··4·(4-x)·x

………………………………………………………………………7分

即时有最大值为。…………………………………………………………8分

（3）（法一）设平面DBF的法向量为，∵AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），

F（0，3，0）,∴（－2，2，2）, ………………………………9分

则 ，

即，

取x＝3，则y＝2，z＝1，∴ 

 面BCF的一个法向量为         ……………………………12分

则cos<>=  …………………………………………13分

由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－ …………………14分

（法二）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，连DM。

由三垂线定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。…………………9分

由△HMF∽△EBF，知，而HF=1，BE=2，，∴HM＝。

又DH＝2，

∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-，

因∠DMH为锐角，∴cos∠DMH＝，  ………………………………13分

而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角，

故二面角D-BF-C的余弦值为－。     ………………………………14分