Question

（满分14分）已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝2，E，F分别是AB，PD的中点．

（1）求证：AF∥平面PEC；

（2）求PC与平面ABCD所成的角的正切值；

（3）求二面角的正切值．

Answer 1

（1）证明见解析：（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）取PC的中点O，连接OF、OE，利用线线平行得出平行四边形，进而再证明线线平行于线面平行；（2）先作出线面角，再利用线面垂直的性质证明线面角，再利用直角三角形进行求角；（3）利用三垂线定理作出二面角的平面角再利用直角三角形进行求角．

解题思路: （1）无论求异面直线所成的角、直线与平面所成的角，还是二面角，都是先作角，再证角，最后通过解三角形进行求解，其难点是作角与证角．

试题解析：（Ⅰ）取PC的中点O，连接OF、

OE．∴FO∥DC，且

∴FO∥AE

又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE．

∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF∥OE

又OE?平面PEC，AF?平面PEC

∴AF∥平面PEC

（Ⅱ）连接AC

∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角

在Rt△PAC中，

即直线PC与平面ABCD所成的角正切值为

（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连接PM，由三垂线定理．得PM⊥CE

∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．

由△AME∽△CBE，可得,,

∴二面角P一EC一D的正切值为

考点：1．线面平行的判定；2．线面角；2．二面角．