Question

在数列{a_n}中，a₁=1，（n≥2）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）若对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a₁=1，（n≥2），知=+3，由此能求出．
（Ⅱ）由.对任意n≥2的整数恒成立，知对任意n≥2的整数恒成立，设，由n=2时，C_n的最小值C₂为，能求出λ的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，（n≥2），
∴=+3，即-=3，=1，
∴{}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴=1+3（n-1）=3n-2，
∴．
（Ⅱ）∵．
对任意n≥2的整数恒成立，
∴λ（1-）≤3n+1对任意n≥2的整数恒成立，
∴对任意n≥2的整数恒成立，
设，
则C_n+1-C_n=＞0，
∴C_n+1＞C_n，
∵n=2时，C_n的最小值C₂为，
∴λ的取值范围是（-∞，]．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式和等价转化思想的合理运用．