题目内容
已知直线l：y＝x＋
，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：
＋
＝1(a>b>0)的离心率e＝
，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线斜率之积为定值．
解 (1)设椭圆半焦距为c，
圆心O到l的距离d＝
＝
，
所以b＝
＝
.
由题意得
又b＝，∴a2＝3，b2＝2.
∴椭圆E的方程为
＋
＝1.
(2)证明：设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，
联立直线l0与椭圆E的方程得
把y＝kx＋(y0－kx0)代入＋＝1，消去y得
(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，∵l0与椭圆E相切．
∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，整理得(2－x
)k2＋2kx0y0－(y－3)＝0，
设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－
∵点P在圆O上，∴x＋y＝5，
∴k1·k2＝－
＝－1.
∴两条切线斜率之积为常数－1.
练习册系列答案
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)作圆O：x2＋y2＝r2(r>0)的切线，切点为D，且|QD|＝4.
，求|
|的最小值(O为坐标原点)．
，
－
＝1(a>0，b>0)与直线y＝
) D．(1，
＝1的焦点在x轴上．
＝16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是( )有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为
.
|
| 优秀 | 非优秀 | 总计 |
| 甲班 | 20 | ||
| 乙班 |
| 60 | |
| 合计 |
|
| 210 |
(1)请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关”；
(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
附：
| P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
| k | 3.841 | 6.635 |