Question

如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且。

（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；

（Ⅱ）求证：AC⊥BE；

（Ⅲ）三棱锥的体积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由（棱锥的体积）。

Answer 1

（Ⅰ）证明：在正方体中，

因为∥BD，所以EF∥BD，

因为平面ABCD，平面ABCD，

所以EF∥平面ABCD。                     3分

（Ⅱ）证明：在正方体中，

因为⊥平面ABCD，所以，

又因为ABCD为正方形，所以BD⊥AC，

，所以AC⊥平面。

而平面。所以AC⊥BE。          6分

（Ⅲ）三棱锥的体积是定值。

设交于点O，由（Ⅱ）可知，AO⊥平面BEF，且。

。      9分