Question

某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（　　）

• A．

  4π

  3

• B．3π
• C．

  3

  2

  π
• D．π

Answer 1

分析：由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在棱长为1的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的体积．

解答：解：由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，
所以此四面体一定可以放在正方体中，
所以我们可以在正方体中寻找此四面体．
如图所示，四面体ABCD满足题意，
所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，
由题意可知，正方体的棱长为1，所以外接球的半径为R=

3

2

，
所以此四面体的外接球的体积V=

4

3

×π×(

3

2

)3=

3

2

π．
故选C．

点评：本题的考点是由三视图求几何体的体积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的体积公式分别求解，考查了空间想象能力．