Question

() （本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，，，，．(Ⅰ)在棱上确定一点，使得平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值．

Answer 1

(Ⅰ) 见解析   (Ⅱ)   

解析:

∵，∴．∵三棱柱为直三棱柱，∴．∵，∴平面．

以为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，． ……3分

(Ⅰ)，

设，则.

由，

得，所以要使平面，只需，即，

即，从而.

所以，故点为棱的中点时，平面.  ……6分

(Ⅱ)设是平面的法向量，由得

取，则是平面的一个法向量．又是平面的一个法向量，……10分且与二面角的大小相等．

由．

故二面角的余弦值为．……12分