Question

直线l:y=kx+1 与双曲线C:2x²-y²=1的右支交于不同两点A 、B ．  
（1）求实数k的取值范围；  
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线右焦点F?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²-y²=1,    
整理得（k² -2）x² +2kx+2 =0，    ①    
依题意，直线与双曲线C:2x²-y²=1的右支交于不同两点    A、B，
∴
解得k的取值范围是
（2）设A、B两点的坐标分别是（x₁，y₁）、(x₂，y₂)，
则由①式得
假设存在实数k使得以线段AB为直径的圆经过双曲线右焦点F（c，0），
则由FA⊥FB得（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=0，
即（x₁-c）（x₂-c）+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
整理得（k²+1）x₁x₂+(k-c)（x₁+x₂）+c²+1=0，    ③
把②式及代入③式化简得
解得或
又不符合，所以舍去．
可知可使得以线段AB为直径的圆经过双曲线的右焦点F