Question

直线l:y=kx+1与双曲线C:2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B.

(1)求实数k的取值范围;

(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解析:(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²-y²=1后,整理得(k²-2)x²+2kx+2=0.  ①

依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故

解得k的取值范围为-2＜k＜-.

(2)设A、B两点的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂),则由①式得x₁+x₂=     ②

假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0),则由FA⊥FB得(x₁-c)(x₂-c)+y₁y₂=0,

即(x₁-c)(x₂-c)+(kx₁+1)(kx₂+1)=0.

整理得(k²+1)x₁x₂+(k-c)(x₁+x₂)+c²+1=0,                                          ③

把②式及c=代入③式化简得5k²+2k-6=0.

解得k=-或k=(-2,-)(舍去).

可知k=-使得以线段AB为直线的圆经过双曲线C的右焦点.