Question

(20)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x²－y²=1的右支交于不同的两点A、B.

(Ⅰ)求实数k的取值范围;

(Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

Answer 1

(20)分析:本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质,曲线与方程的关系,及其综合应用能力.

解析：

(Ⅰ)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²－y²=1后,整理和得(k²－2)x²+2kx+2=0.                                                               ①

依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故

解得k的取值范围为－2＜k＜－.

(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂),则由①式得

                                                                      ②

假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0),则由FA⊥FB得

(x₁－c)(x₂－c)+y₁y₂=0,

即(x₁－c)(x₂－c)+(kx₁+1)(kx₂+1)=0.

整理得

(k²+1)x₁x₂(k－c)(x₁+x₂)+c²+1=0.                                            ③

把②式及c=代入③式化简得5k²+2k－6=0.

解得k=－或k=(－2,－)(舍去).

可知k=－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.