Question

9．设0＜θ＜$\frac{π}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$=（sin2θ，cosθ），$\overrightarrow{b}$=（1，-cosθ），若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，则sin2θ+cos²θ=$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcosθ-cos²θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ，把sin2θ+cos²θ化为含有tanθ的代数式得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（sin2θ，cosθ），$\overrightarrow{b}$=（1，-cosθ），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sin2θ-cos²θ=2sinθcosθ-cos²θ=0，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，∴2sinθ-cosθ=0，则tanθ=$\frac{1}{2}$，
∴sin2θ+cos²θ=$\frac{2sinθcosθ+co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}=\frac{2tanθ+1}{ta{n}^{2}θ+1}$
=$\frac{2×\frac{1}{2}+1}{（\frac{1}{2}）^{2}+1}=\frac{8}{5}$．
故答案为：$\frac{8}{5}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题．