Question

14．已知非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=|$λ\overrightarrow{b}$|，若（2$\overrightarrow{a}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），则实数λ的值等于$±\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由（2$\overrightarrow{a}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）得（2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，展开后代入数量积公式，结合|$\overrightarrow{a}$|=$|λ\overrightarrow{b}|$可求实数λ的值．

解答 解：由（2$\overrightarrow{a}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），得（2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
∴$2|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
∵非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=$|λ\overrightarrow{b}|$，
∴$2{λ}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}+2|λ|•|\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{b}|cos\frac{2π}{3}=0$，
即2λ²-|λ|=0，
由题意知λ≠0，∴|λ|=$\frac{1}{2}$，得$λ=±\frac{1}{2}$．
故答案为：$±\frac{1}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，关键是熟记数量积公式，是基础题．