Question

【题目】已知函数.

（1）讨论在上的单调性；

（2）令，当时，证明：对，使.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见证明

【解析】

（1）由题意可得，分类讨论时，和三种情况确定函数的单调性即可；

（2）此时原题目等价于.由函数f(x)的解析式可得,结合函数g(x)的性质证明即可证得题中的结论.

（1）

当时，由于，所以恒成立，在为增函数；

当时，①若恒成立，在上为减函数；

②若，令，得在上为增函数，上为减函数.

综上：当时，在上为增函数；

当时，在上为增函数，在上为减函数；

当时，在上为减函数.

（2）此时原题目等价于.

当时，，由（1）知在上为增函数，在上为减函数，,

令 .令，得，

在上恒成立，在上单调递增，即在上单调递增.

当时， ，

由于存在，使，即，

在单调递减，在单调递增，

，

令 恒成立，在上为减函数

，从而命题得证.