题目内容

已知F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作倾斜角为
π
4
的直线l交椭圆于A，B两点，
AF1
=(2-
3
)
F1B
．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若|AB|=3，求椭圆的标准方程．
（1）直线l的方程为x=y-c，
由
x=y-c
x2
a2
+
y2
b2
=1
，
消去x得，（a2+b2）y2-2b2cy-b4=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=
2b2c
a2+b2
①，
y1y2=
-b4
a2+b2
②，
又由
AF1
=(2-
3
)
F1B
，
得
y1
y2
=-(2-
3
)③，
由①②得
(y1+y2)2
y1y2
=
y1
y2
+
y2
y1
+2=
-4c2
a2+b2
=-2，
∴a2+b2=2c2，a2=3b2，
∴2a2=3c2，
∴e=
6
3
．
（2）|AB|=
2
|y1-y2|
=
2
×
4b4c2+4b4(a2+b2)
a2+b2
=
4ab2
a2+b2
=a=3，
∴b2=3
∴椭圆标准方程为
x2
9
+
y2
3
=1．
练习册系列答案
相关题目
已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的两个焦点，P为椭圆上一点且
PF1
•
PF2
=c2，则此椭圆离心率的取值范围是（　　）
A、[
3
3
，1)
B、[
1
3
，
1
2
]
C、[
3
3
，
2
2
]
D、(0，
2
2
]
已知F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作倾斜角为θ的动直线l交椭圆于A，B两点．当θ=
π
4
时，
AF1
=(2-
3
)
F1B
，且|AB|=3．
（1）求椭圆的离心率及椭圆的标准方程；
（2）求△ABF2面积的最大值，并求出使面积达到最大值时直线l的方程．
已知F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1作倾斜角为60° 的直线l交椭圆于A，B两点，ABF2的内切圆的半径为
2
3
7
c
（I）求椭圆的离心率；   
（II）若|AB|=8
2
，求椭圆的标准方程．
（2013•东城区一模）已知F1（-c，0），F2（c，0）分别是双曲线C1：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，双曲线C1和圆C2：x2+y2=c2的一个交点为P，且2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C1的离心率为（　　）
已知F1（-c，0），F2（c，0） （c＞0）是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，圆M的方程是(x-
5
4
c)2+y2=
9c2
16
．
（1）若P是圆M上的任意一点，求证：
|PF1|
|PF2|
是定值；
（2）若椭圆经过圆上一点Q，且cos∠F1QF2=
3
5
，求椭圆的离心率；
（3）在（2）的条件下，若|OQ|=
34
2
，求椭圆的方程．

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