题目内容

从抛物线y2=2px(p>0)上各点向x轴作垂线段,则垂线段中点的轨迹方程为______________.

y2=x


解析:

设N(x0,y0)为抛物线上的点,垂线段的中点为M(x,y),则有由y02=2px0,得4y2=2px,即y2=x.

练习册系列答案
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（2012•普陀区一模）设点F是抛物L：y2=2px（p＞0）的焦点，P1，P2，…，Pn是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N*）．
（1）当p=2时，试写出抛物线L上三点P1、P2、P3的坐标，时期满足|
FP1
|+|
FP2
|+|
FP3
|=6；
（2）当n≥3时，若
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
，求证：|
FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=np；
（3）当n＞3时，某同学对（2）的逆命题，即：“若|
FP1
|+| 
FP2
|+…+|  
FPN
|=np，则
FP1
+
FP2
+…+
FPN
=
0
”开展了研究并发现其为假命题．
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
1．试构造一个说明该命题确实是假命题的反例；
2．对任意给定的大于3的正整数n，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由：
3．如果补充一个条件后能使该命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由．
一青蛙从点A0（x0，y0）开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是Ai（xi，yi）（i∈N*），（如图所示，A0（x0，y0）坐标以已知条件为准），Sn表示青蛙从点A0到点An所经过的路程．
（1）若点A0（x0，y0）为抛物线y2=2px（p＞0）准线上一点，点A1，A2均在该抛物线上，并且直线A1A2经过该抛物线的焦点，证明S2=3p．
（2）若点An（xn，yn）要么落在y=x所表示的曲线上，要么落在y=x2所表示的曲线上，并且A0(
1
2
，
1
2
)，试写出
lim
n→+∞
Sn（不需证明）；
（3）若点An（xn，yn）要么落在y=2
1+8x
-1所表示的曲线上，要么落在y=2
1+8x
+1所表示的曲线上，并且A0（0，4），求Sn的表达式．
从抛物线y2=2px(p＞0)上各点向x轴作垂线段,则垂线段中点的轨迹方程为______________.

一青蛙从点A（x，y）开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是Ai（xi，yi）（i∈N*），（如图所示，A（x，y）坐标以已知条件为准），Sn表示青蛙从点A到点An所经过的路程．
（1）若点A（x，y）为抛物线y2=2px（p＞0）准线上一点，点A1，A2均在该抛物线上，并且直线A1A2经过该抛物线的焦点，证明S2=3p．
（2）若点An（xn，yn）要么落在y=x所表示的曲线上，要么落在y=x2所表示的曲线上，并且，试写出（不需证明）；
（3）若点An（xn，yn）要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且A（0，4），求Sn的表达式．

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