Question

一青蛙从点A（x，y）开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是A_i（x_i，y_i）（i∈N^*），（如图所示，A（x，y）坐标以已知条件为准），S_n表示青蛙从点A到点A_n所经过的路程．
（1）若点A（x，y）为抛物线y²=2px（p＞0）准线上一点，点A₁，A₂均在该抛物线上，并且直线A₁A₂经过该抛物线的焦点，证明S₂=3p．
（2）若点A_n（x_n，y_n）要么落在y=x所表示的曲线上，要么落在y=x²所表示的曲线上，并且，试写出（不需证明）；
（3）若点A_n（x_n，y_n）要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且A（0，4），求S_n的表达式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于点A（x，y）为抛物线y²=2px（p＞0）准线上一点，可知A（-），由于青蛙依次向右向上跳动，直线A₁A₂经过该抛物线的焦点，所以A₁（），A₂（），由抛物线定义可证；
（2）根据题意可得x_2n+1=），由于青蛙从点A（x，y）开始依次水平向右和竖直向上跳动，所以可知随着n的增大，点A_n无限接近点（1，1），进而可得横向路程之和无限接近1-，纵向路程之和无限接近1-，故问题得解；
（3）由题意知A₁（1，2²），A₂（1，2⁴），A₃（3，2⁴），A₄（3，2⁶），A₅（6，2⁶），A₆（6，2⁸），…
其中A₁（1，2²），A₃（3，2⁴），A₅（6，2⁶），A₇（10，2⁸），…A₂（1，2⁴），A₄（3，2⁶），A₆（6，2⁸），A₈（10，2¹⁰）…观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为2²，公比为4的等比数列．相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列．下标为偶数的点也有此规律．再分类求和即可．
解答：解：（1）设A（-），由于青蛙依次向右向上跳动，
所以A₁（），A₂（），由抛物线定义知：S₂=3p…4分
（2）依题意，x_2n+1=）|+…=（x₁-x）+（y₂-y₁）+（x₃-x₂）+（y₄-y₃）+（x₅-x₄）+…+（x_2n-1-x_2n）+（y_2n-y_2n-1）+…=2（x₁-x）+2（x₃-x₂）+2（x₅-x₄）+…+2（x_2n-1-x_2n）+…
随着n的增大，点A_n无限接近点（1，1）…6分
横向路程之和无限接近1-，纵向路程之和无限接近1-…8分
所以 ==1…10分
（3）由题意知A₁（1，2²），A₂（1，2⁴），A₃（3，2⁴），A₄（3，2⁶），A₅（6，2⁶），A₆（6，2⁸），…
其中A₁（1，2²），A₃（3，2⁴），A₅（6，2⁶），A₇（10，2⁸），…A₂（1，2⁴），A₄（3，2⁶），A₆（6，2⁸），A₈（10，2¹⁰）…
观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为2²，公比为4的等比数列．相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列．下标为偶数的点也有此规律．12分
所以，当n为偶数时，x_n=
当n为奇数时，x_n=
当n为偶数时，S_n=（x_n+y_n）-（x+y）=（）-4
当n为奇数时，S_n=（x_n+y_n）-（x+y）=（）-4…16分
所以，S_n=…18分．
点评：本题的考点是圆锥曲线的综合，主要考查数列与圆锥曲线的结合，考查分类讨论思想，难度较大．关键是搞清运动过程中坐标之间的关系，挖掘问题的本题，从而使问题得解．