题目内容

（2012•普陀区一模）设点F是抛物L：y2=2px（p＞0）的焦点，P1，P2，…，Pn是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N*）．
（1）当p=2时，试写出抛物线L上三点P1、P2、P3的坐标，时期满足|
FP1
|+|
FP2
|+|
FP3
|=6；
（2）当n≥3时，若
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
，求证：|
FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=np；
（3）当n＞3时，某同学对（2）的逆命题，即：“若|
FP1
|+| 
FP2
|+…+|  
FPN
|=np，则
FP1
+
FP2
+…+
FPN
=
0
”开展了研究并发现其为假命题．
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
1．试构造一个说明该命题确实是假命题的反例；
2．对任意给定的大于3的正整数n，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由：
3．如果补充一个条件后能使该命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由．
分析：（1）抛物线l的焦点为F（
p
2
，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），利用抛物线的定义可得x1+x2+x3=3，故可取满足条件的三点；
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn，利用抛物线的定义可得x1+x2+x3+…+xn=
np
2
，从而可证
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=np
（3）①取n=4时，抛物线l的焦点为F（
p
2
，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，利用抛物线的定义，可得x1+x2+x3+x4=2p，从而可得结论；
②设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn，利用抛物线的定义，可得x1+x2+x3+…+xn=
np
2
，从而可得结论；
③补充条件：点Pi的纵坐标满足y1+y2+…+yn=0，即当n＞3时，|
FP1
|+| 
FP2
|+…+|  
FPn
|=np，点Pi的纵坐标满足y1+y2+…+yn=0，则
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
．
解答：解：（1）抛物线l的焦点为F（
p
2
，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），
分别过P1、P2、P3作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，
∴|
FP1
|+|
FP2
|+|
FP3
|=（x1+
p
2
）+（x2+
p
2
）+（x3+
p
2
）=x1+x2+x3+
3p
2
=6
∵p=2，∴x1+x2+x3=3
故可取P1（
1
2
，
2
），P2（1，2），P3（
3
2
，
6
）满足条件；
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn
∴
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=（x1+
p
2
）+（x2+
p
2
）+（x3+
p
2
）+…+（xn+
p
2
）=x1+x2+x3+…+xn+
np
2

∵
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
           
∴x1+x2+x3+…+xn=
np
2

∴
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=
np
2
+
np
2
=np
（3）①取n=4时，抛物线l的焦点为F（
p
2
，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，
∴
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FP4
|=x1+x2+x3+x4+2p=4p
∴x1+x2+x3+x4=2p
不妨取P1(
p
4
，
2
p
2
)，P2(
p
2
，p)，P3(
p
2
，-p)，P4(
3p
4
，
6
p
2
)，则
FP1
+
FP2
+…+
FP4
≠
0

故P1(
p
4
，
2
p
2
)，P2(
p
2
，p)，P3(
p
2
，-p)，P4(
3p
4
，
6
p
2
)是一个当n=4时，该逆命题的一个反例；
②设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn
∵|
FP1
|+| 
FP2
|+…+|  
FPn
|=np，∴x1+x2+x3+…+xn+
np
2
=np，∴x1+x2+x3+…+xn=
np
2

因为上述表达式与点的纵坐标无关，所以将这n点都取在x轴的上方，则它们的纵坐标都大于0，则
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=（0，y1+y2+…+yn）≠
0

③补充条件：点Pi的纵坐标满足y1+y2+…+yn=0，即当n＞3时，|
FP1
|+| 
FP2
|+…+|  
FPn
|=np，点Pi的纵坐标满足y1+y2+…+yn=0，则
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0

由②知，命题为真．
点评：本题考查抛物线的定义，考查向量的运算，解题的关键是正确运用抛物线的定义，难度较大．
练习册系列答案
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（2012•普陀区一模）
e
1，
e
2是两个不共线的向量，已知
AB
=2
e
1+k
e
2，
CB
=
e
1+3
e
2
CD
=2
e
1-
e
2，且A，B，D三点共线，则实数k=
-8
-8
．
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x2
4
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x-3
x+1
≤0}，则集合{x|(x+
3
2
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1
4
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{bn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得
Tn+1
Tn
=
11
3
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（2012•普陀区一模）函数y=
1
log
1
2
|x-1|
的定义域是
（0，1）∪（1，2）
（0，1）∪（1，2）
．

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