Question

．如图，已知A（-2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=-2|CD|，E为AC上一点，且。又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点。若，则双曲线离心率e的取值范围为（   ）

A．   B．  C．   D．

Answer 1

A

分析：如图，在直角坐标系中，记双曲线的半焦距为c（c=2），h是梯形的高，用定比分点坐标公式可求得E点坐标x₀和y₀的表达式．设双曲线方程，将点C、E坐标和e分别代入双曲线方程联立后求得e和h的关系式，根据λ的范围求得e的范围．

解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称，
设c为双曲线的半焦距（c=2），
依题意，记 A(-c，0)，C(，h)，E(x₀，y₀)，
h是梯形的高，
由定比分点坐标公式得 x₀==，γ₀=．
设双曲线的方程为 -=1，则离心率 e=，
由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和 e=代入双曲线的方程，得 -=1，①
()²-()²=1．②
由①式得=-1，③
将③式代入②式，整理得(4-4λ)=1+2λ，
故 λ=1-
由题设 ≤λ≤得，≤1-≤，
解得 ≤e≤，
所以，双曲线的离心率的取值范围为[，]．
故选A．