Question

（2012•济南二模）已知中心在原点O，焦点F₁、F₂在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线y²=-4

6

x的焦点为F₁．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆E的方程，根据椭圆E经过点C（2，2），且抛物线y²=-4

6

x的焦点为F₁，结合a²=b²+c²，即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程y=-x+m代入椭圆E方程，可得3x²-4mx+2m²-12=0，利用韦达定理可得圆P的圆心与半径，利用圆P与y轴相切时，即可确定m的值，由此可求直线l的方程和圆P的方程．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，…（1分）
则

4

a2

+

4

b2

=1，①…（2分）
∵抛物线y2=-4

6

x的焦点为F₁，∴c=

6

②…（3分）
又a²=b²+c²  ③
由①、②、③得a²=12，b²=6…（5分）
所以椭圆E的方程为

x2

12

+

y2

6

=1…（6分）
（Ⅱ）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，…（7分）
代入椭圆E方程，得3x²-4mx+2m²-12=0．…（8分）
由△=16m²-12（2m²-12）=8（18-m²），得m²＜18．…（9分）
记A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4m

3

，x₁x₂=

2m2-12

3

…（10分）
圆P的圆心为(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，
半径r=

2

2

|x1-x2|=

2

2

(x1+x2)2-4x1x2

…（1分）
当圆P与y轴相切时，r=|

x1+x2

2

|，则2x₁x₂=

(x1+x2)2

4

，
即

2(2m2-12)

3

=

4m2

9

，m²=9＜18，m=±3…（12分）
当m=3时，直线l方程为y=-x+3，此时，x₁+x₂=4，圆心为（2，1），半径为2，圆P的方程为（x-2）²+（y-1）²=4；…（13分）
同理，当m=-3时，直线l方程为y=-x-3，圆P的方程为（x+2）²+（y+1）²=4…14 分

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查直线与圆的位置关系，正确确定圆心与半径是关键．