题目内容
（2010•武昌区模拟）如图，已知椭圆| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（1）求证：KF平分∠MKN；
（2）直线AM、AN分别交准线l于点P、Q，设直线MN的倾斜角为θ，试用θ表示线段PQ的长度|PQ|，并求|PQ|的最小值．
分析：（1）法一：几何法，分别过M和N点作准线的垂线，并设出对应的垂足，根据直角梯形列出比例关系，再由椭圆的第二定义，将到焦点的距离之比转化到对应准线的距离之比，判断出∠KMM1=∠KNN1，再由内错角相等得到∠MKF=∠NKF，即得到证明；
法二：代数法，根据题意设直线MN的方程为x=my+1，再设出点M、N的坐标，联立直线和椭圆的方程，消去x得到关于y的一个二次方程，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，再代入斜率公式，进行证明；
（2）由题意求出点A和右准线的方程，并设出四点M、N、P和Q的坐标，根据A，M，P三点共线得到对应的斜率相等，求出点P和Q的坐标，联立直线和椭圆的方程，消去x得到关于y的一个二次方程，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，再代入两点之间的距离公式，化简后用m表示|PQ|，再把m用cotθ表示，利用三角恒等变换公式和θ∈（0，π），求出最小值．
法二：代数法，根据题意设直线MN的方程为x=my+1，再设出点M、N的坐标，联立直线和椭圆的方程，消去x得到关于y的一个二次方程，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，再代入斜率公式，进行证明；
（2）由题意求出点A和右准线的方程，并设出四点M、N、P和Q的坐标，根据A，M，P三点共线得到对应的斜率相等，求出点P和Q的坐标，联立直线和椭圆的方程，消去x得到关于y的一个二次方程，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，再代入两点之间的距离公式，化简后用m表示|PQ|，再把m用cotθ表示，利用三角恒等变换公式和θ∈（0，π），求出最小值．
解答：解：（1）法一：作MM1⊥l于M1，
NN1⊥l于N1，则
=
，
由椭圆的第二定义，有
=
，
∴
=
，
∴∠KMM1=∠KNN1，即∠MKF=∠NKF，
∴KF平分∠MKN．
法二：设直线MN的方程为x=my+1，
设M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由
得，（3m2+4）y2+6my-9=0，
∴y1+y2=-
，y1y2=-
设KM和KN的斜率分别为k1，k2，显然只需证k1+k2=0即可．
∵K（4，0），∴k1+k2=
+
=
而x2y1+x1y2-4（y1+y2）=（my2+1）y1+（my1+1）y2-4（y1+y2）
=2my1y2-3(y1+y2)=2m•
-3•
=0，
即k1+k2=0得证，故KF平分∠MKN．
（2）设M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由题意知，A（-2，0），右准线的方程：x=
=4，
故令P（4，yp），Q（4，yq），
∵A，M，P三点共线，∴kAP=kAM，即
=
，得yp=
，即P点为(4，
)
由A，N，Q三点共线，同理可求出Q点为(4，
)，
设直线MN的方程为x=my+1．由
得，（3m2+4）y2+6my-9=0，
∴y1+y2=-
，y1y2=-
，
则|PQ|=
-
=
=
=
=6
又∵直线MN的倾斜角为θ，则m=cotθ，θ∈（0，π），
∴|PQ|=6
=
，
∴θ=
时，|PQ|min=6．
NN1⊥l于N1，则
| |MF| |
| |NF| |
| |M1K| |
| |N1K| |
由椭圆的第二定义，有
| |MF| |
| |NF| |
| |M1M| |
| |N1N| |
∴
| |N1K| |
| |NN1| |
| |M1K| |
| |MM1| |
∴∠KMM1=∠KNN1，即∠MKF=∠NKF，
∴KF平分∠MKN．
法二：设直线MN的方程为x=my+1，
设M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由
|
∴y1+y2=-
| 6m |
| 3m2+4 |
| 9 |
| 3m2+4 |
设KM和KN的斜率分别为k1，k2，显然只需证k1+k2=0即可．
∵K（4，0），∴k1+k2=
| y1 |
| x1-4 |
| y2 |
| x2-4 |
| x2y1+x1y2-4(y1+y2) |
| (x1-4)(x2-4) |
而x2y1+x1y2-4（y1+y2）=（my2+1）y1+（my1+1）y2-4（y1+y2）
=2my1y2-3(y1+y2)=2m•
| -9 |
| 3m2+4 |
| -6m |
| 3m2+4 |
即k1+k2=0得证，故KF平分∠MKN．
（2）设M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由题意知，A（-2，0），右准线的方程：x=
| a2 |
| c |
故令P（4，yp），Q（4，yq），
∵A，M，P三点共线，∴kAP=kAM，即
| yp-0 |
| 4+2 |
| y1-0 |
| x1+2 |
| 6y1 |
| 2+x1 |
| 6y1 |
| 2+x1 |
由A，N，Q三点共线，同理可求出Q点为(4，
| 6y2 |
| 2+x2 |
设直线MN的方程为x=my+1．由
|
∴y1+y2=-
| 6m |
| 3m2+4 |
| 9 |
| 3m2+4 |
则|PQ|=
| 6y1 |
| 2+x1 |
| 6y2 |
| 2+x2 |
| 6[2(y1-y2)+x2y1-x1y2] |
| 4+2(x1+x2)+x1x2 |
| 18(y1-y2) |
| m2y1y2+3m(y1+y2)+9 |
=
18
| ||||||
m2•
|
| 1+m2 |
又∵直线MN的倾斜角为θ，则m=cotθ，θ∈（0，π），
∴|PQ|=6
| 1+cot2θ |
| 6 |
| sinθ |
∴θ=
| π |
| 2 |
点评：本题主要考查了直线与椭圆的综合问题，两点间的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查了学生解决问题的能力和运算能力．
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