题目内容

(2010•武昌区模拟)设函数f(x)=px-
q
x
-2lnx
,且f(e)=qe-
p
e
-2
,其中p≥0,e是自然对数的底数.
(1)求p与q的关系;
(2)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p的取值范围.
(3)设g(x)=
2e
x
.若存在x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围.
分析:(1)根据函数f(x)=px-
q
x
-2lnx
,且f(e)=qe-
p
e
-2
,可得(p-q)(e+
1
e
)=0,从而可求p与q的关系;
(2)求导函数,再进行分类讨论:当p=0时,f(x)在其定义域(0,+∞)内为单调减函数;当p>0时,要使f(x)在其定义域(0,+∞)内为单调函数,只需h(x)在(0,+∞)内满足h(x)≥0恒成立,从而可求p的取值范围;(3)确定g(x)=
2e
x
在[1,e]上的最值,再分类讨论:①当p=0时,f(x)min=f(1)=0,不合题意;②当p≥1时,只需f(x)max>g(x)min(x∈[1,e]);③当0<p<1时,不合题意,从而可求实数p的取值范围是.
解答:解:(1)由题意,∵函数f(x)=px-
q
x
-2lnx
,且f(e)=qe-
p
e
-2
,∴(p-q)(e+
1
e
)=0
e+
1
e
≠0,∴p-q=0,∴p=q
(2)由(1)知,f(x)=px-
p
x
-2lnx
,求导函数,可得f′(x)=
px2-2x+p
x2

当p=0时,f′(x)=-
2
x
<0,所以f(x)在其定义域(0,+∞)内为单调减函数
当p>0时,要使f(x)在其定义域(0,+∞)内为单调函数,由于h(x)=px2-2x+p图象为开口向上的抛物线,所以只需h(x)在(0,+∞)内满足h(x)≥0恒成立
函数h(x)=px2-2x+p的对称轴为x=
1
p
∈(0,+∞)
,∴h(x)min=p-
1
p

∴只需p-
1
p
≥0
,∵p>0,∴p≥1
综上所述,p的取值范围为{0}∪[1,+∞)
(3)∵g(x)=
2e
x
在[1,e]上是减函数,
∴x=e时,g(x)min=2;x=1时,g(x)max=2e,即g(x)∈[2,2e]
①当p=0时,由(2)知f(x)在[1,e]上是减函数,∴f(x)min=f(1)=0,不合题意;
②当p≥1时,由(2)知f(x)在[1,e]上是增函数,f(1)=0<2,
g(x)=
2e
x
在[1,e]上是减函数,故只需f(x)max>g(x)min(x∈[1,e]),
∵f(x)max=f(e)=p(e-
1
e
)-2,g(x)min=2,
∴p(e-
1
e
)-2>2,∴p>
4e
e2-1

③当0<p<1时,由x∈[1,e],x-
1
x
≥0,
由(2)知当p=1时,f(x)在[1,e]上是增函数,f(x)=p(x-
1
x
)-2lnx
x-
1
x
-2lnx
e-
1
e
-2<
2,不合题意
综上,实数p的取值范围是(
4e
e2-1
,+∞)
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查存在性问题,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,综合性强.
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