Question

（2010•武昌区模拟）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的

1

6

，经过这3点的小圆周长为4π，那么这个球的体积为（　　）

• A．256

  3

  π
• B．32

  3

  π
• C．

  32

  3

  π
• D．4

  3

  π

Answer 1

分析：因为正三角形ABC的外径r=2，故可以得到高，D是BC的中点．在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R．然后求出球的体积．

解答：解：因为球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的

1

6

，△ABC是正三角形，
过ABC的小圆周长为4π，正三角形ABC的外接圆半径r=2，故三角形ABC的高AD=

3

2

r=3，D是BC的中点．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=

π

3

，所以BC=BO=R，BD=

1

2

BC=

1

2

R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB²=BD²+AD²，得R²=

1

4

R²+9，所以R=2

3

．
所求球的体积为：

4π

3

×(2

3

)3=32

3

π．
故选B．

点评：本题考查学生的空间想象能力，以及对球的性质认识及利用，是中档题．