Question

【题目】设函数f(x)＝emx＋x2－mx.

(1)证明：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；

(2)若对于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 见解析(2) [－1,1]．

【解析】试题分析：（1）利用说明函数为增函数，利用说明函数为减函数，要注意参数的讨论；（2）由（1）知，对任意的， 在单调递减，在单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得的取值范围．

试题解析：(1)证明：∵

∴.

若，则当时， ， ，

当时， ，

若，则当时， ，

当时， ，

∴函数在上单调递减，在上单调递增．

(2)由(1)知，对任意的， 在上单调递减，在上单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意， 的充要条件是即①

设函数，则

当时， ；当时，

∴在上单调递减，在上单调递增．

又∵，

∴当时，

当时， ， ，即①式成立；

当时， ，即；

当时， ，即

综上， 的取值范围是．