Question

【题目】已知曲线C1上任意一点M到直线l：y＝4的距离是它到点F(0,1)距离的2倍；曲线C2是以原点为顶点，F为焦点的抛物线．

(1)求C1，C2的方程；

(2)设过点F的直线与曲线C2相交于A，B两点，分别以A，B为切点引曲线C2的两条切线l1，l2，设l1，l2相交于点P，连接PF的直线交曲线C1于C，D两点，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1) ,；（2）7

【解析】试题分析：(1)利用直接法求曲线的轨迹方程，利用抛物线的定义求曲线的标准方程；(2)设直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、平面向量的数量积和函数的单调性进行求解.

试题解析：(1)设M(x，y)，则＝2，

∴曲线C1的方程为＋＝1，

设曲线C2的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1，

∴p＝2，∴曲线C2的方程为x2＝4y.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为y＝kx＋1，

代入曲线C2的方程得x2－4kx－4＝0，

∴

由y＝，∴y′＝，

∴l1：y＝x－，l2：y＝x－，

∴P(，)，∴P(2k，－1)，

∴kPF＝，∴CD⊥AB，

CD：y＝－x＋1，

代入曲线C1的方程得(4k2＋3)y2－8k2y＋4k2－12＝0，

设C(x3，y3)，D(x4，y4)，

∴

∴·＝(＋)·(＋)

＝·＋·＋·＋·＝||||＋||||

＝(y1＋1)(y2＋1)＋|y3－4|·|y4|

＝(kx1＋2)(kx2＋2)＋

＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋－(y1＋y2)＋8

＝4(k2＋1)＋＝＋(t＋)

(其中t＝4k2＋3≥3)

设f(t)＝t＋ (t≥3)，

则f′(t)＝1－＝>0，

故f(t)在[3，＋∞)单调递增，

因此·＝＋(t＋)

≥＋3＋＝7，

当且仅当t＝3即k＝0等号成立，

故·的最小值为7.