Question

19．设x、y、z为正数，且2^x=3^y=5^z，则（　　）

• A． 2x＜3y＜5z
• B． 5z＜2x＜3y
• C． 3y＜5z＜2x
• D． 3y＜2x＜5z

Answer 1

分析 x、y、z为正数，令2^x=3^y=5^z=k＞1．lgk＞0．可得x=$\frac{lgk}{lg2}$，y=$\frac{lgk}{lg3}$，z=$\frac{lgk}{lg5}$．可得3y=$\frac{lgk}{lg\root{3}{3}}$，2x=$\frac{lgk}{lg\sqrt{2}}$，5z=$\frac{lgk}{lg\root{5}{5}}$．根据$\root{3}{3}$=$\root{6}{9}$$＞\root{6}{8}$=$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}=\root{10}{32}$＞$\root{10}{25}$=$\root{5}{5}$．即可得出大小关系．
另解：x、y、z为正数，令2^x=3^y=5^z=k＞1．lgk＞0．可得x=$\frac{lgk}{lg2}$，y=$\frac{lgk}{lg3}$，z=$\frac{lgk}{lg5}$．$\frac{2x}{3y}$=$\frac{2}{3}×\frac{lg3}{lg2}$=$\frac{lg9}{lg8}$＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．

解答 解：x、y、z为正数，
令2^x=3^y=5^z=k＞1．lgk＞0．
则x=$\frac{lgk}{lg2}$，y=$\frac{lgk}{lg3}$，z=$\frac{lgk}{lg5}$．
∴3y=$\frac{lgk}{lg\root{3}{3}}$，2x=$\frac{lgk}{lg\sqrt{2}}$，5z=$\frac{lgk}{lg\root{5}{5}}$．
∵$\root{3}{3}$=$\root{6}{9}$$＞\root{6}{8}$=$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}=\root{10}{32}$＞$\root{10}{25}$=$\root{5}{5}$．
∴$lg\root{3}{3}$＞lg$\sqrt{2}$＞$lg\root{5}{5}$＞0．
∴3y＜2x＜5z．
另解：x、y、z为正数，
令2^x=3^y=5^z=k＞1．lgk＞0．
则x=$\frac{lgk}{lg2}$，y=$\frac{lgk}{lg3}$，z=$\frac{lgk}{lg5}$．
∴$\frac{2x}{3y}$=$\frac{2}{3}×\frac{lg3}{lg2}$=$\frac{lg9}{lg8}$＞1，可得2x＞3y，
$\frac{5z}{2x}$=$\frac{5}{2}×\frac{lg2}{lg5}$=$\frac{lg{2}^{5}}{lg{5}^{2}}$＞1．可得5z＞2x．
综上可得：5z＞2x＞3y．
解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．
故选：D．

点评 本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．