题目内容
抛物线y=x2+4x上一点P处的切线的倾斜角为45°，切线与x，y轴的交点分别是A，B，则△AOB的面积为 ．
【答案】分析：由题意和导数的几何意义求出点P的坐标，再求出切线方程，然后求出A、B两点的坐标，进而可求长度及直线AB的方程，再求原点到AB得距离即为三角形边AB上的高，再代入三角形的面积公式求解．
解答：解：设点P的坐标为（x，y），
由题意，y'=2x+4且过P点的切线的斜率k=tan45°=1，
∴由导数的几何意义得，1=2x+4，x=-
；代入y=x2+4x解得，y=-
，
∴P的坐标为（-
，-
），
∴过P点的切线的方程为y+
=x+
，即x-y-
=0，
令y=0，x=
，令x=0，y=-
；∴A（
，0），B（0，-
）
∴|AB|=
=
，直线AB的方程为x-y-
=0；
∴点O（0，0）到直线AB的方程得距d=
=
，
∴△AOB的面积S=
×|AB|×d=
．故答案为：
．
点评：本题考查了根据导数的几何意义如何求切点和切线方程，还有直线方程及三角形的面积求法，是一道好题．
解答：解：设点P的坐标为（x，y），
由题意，y'=2x+4且过P点的切线的斜率k=tan45°=1，
∴由导数的几何意义得，1=2x+4，x=-
；代入y=x2+4x解得，y=-
，∴P的坐标为（-
，-
），∴过P点的切线的方程为y+
=x+
，即x-y-
=0，令y=0，x=
，令x=0，y=-
；∴A（
，0），B（0，-
）∴|AB|=
=
，直线AB的方程为x-y-
=0；∴点O（0，0）到直线AB的方程得距d=
=
，∴△AOB的面积S=
×|AB|×d=
．故答案为：
．点评：本题考查了根据导数的几何意义如何求切点和切线方程，还有直线方程及三角形的面积求法，是一道好题．
练习册系列答案
能力评价系列答案
唐印文化课时测评系列答案
相关题目