Question

（本小题满分14分）已知函数．
（Ⅰ）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且，已
知a₁ = 4，求证：a_n³ 2n + 2；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．

Answer 1

(1)，．
要使函数f(x)在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0，
当在内恒成立；
当要使恒成立，则，解得，
当恒成立，
所以的取值范围为．                      ------------------4分
（2）根据题意得：，
于是，
用数学归纳法证明如下：
当，不等式成立；
假设当时，不等式成立，即也成立，
当时，，
所以当，不等式也成立，
综上得对所有时，都有．      ----------------9分
(3) 由(2)得，
于是，所以，
累乘得：，所以． --14分

略