Question

12．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．
（1）求三棱锥P-ACD的体积；
（2）求点D到平面PAC的距离．

Answer 1

分析 （1）由知得PD⊥平面ACD，PD=1，由此能求出三棱锥P-ACD的体积．
（2）设点D到平面PAC的距离为h，由V_D-PAC=V_P-ACD，能求出点D到平面PAC的距离．

解答 解：（1）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点，
∴PD⊥平面ACD，PD=1，${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∴三棱锥P-ACD的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ACD}×PD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$．
（2）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点，
∴PC=PA=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△PAC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
设点D到平面PAC的距离为h，
∵V_D-PAC=V_P-ACD，
∵三棱锥P-ACD的体积V=$\frac{1}{6}$．
∴$\frac{1}{3}×{S}_{△PAC}×h=\frac{1}{6}$，
∴h=$\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴点D到平面PAC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．