Question

（1）证明：

x

1+x

＜ln（1+x）＜x（x∈R⁺）；
（2）设{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项倒数和，T_n=S_n-ln

an

，试证：0＜T_n-T_4n＜

3

8n

．

Answer 1

分析：（1）构造函数f（x）=

x

1+x

-ln（1+x），g（x）=ln（1+x）-x，利用导数研究函数的单调性即可得出；
（2）利用（1）的结论及放缩法即可得出．

解答：证明：（1）构造函数f（x）=

x

1+x

-ln（1+x），g（x）=ln（1+x）-x，
∵x∈R⁺，
∴f′（x）=

(1+x)-x

(1+x)2

-

1

1+x

=-

x

(1+x)2

＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴f（x）＜f（0）=0，
∴

x

1+x

＜ln（1+x）．
∵x∈R⁺，
∴g′（x）=

1

1+x

-1=-

x

1+x

＜0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴ln（1+x）＜x．
∴

x

1+x

＜ln（1+x）＜x（x∈R⁺）；
（2）由a₁=3，d=2，得a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1．
则Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

3

+

1

5

+…+

1

2n+1

，
Tn=Sn-ln

an

=Sn-

1

2

lnan．
则Tn-T4n=(Sn-

1

2

lnan)-(S4n-

1

2

lna4n)
=

1

2

ln

a4n

an

-（S_4n-S_n）=

1

2

ln

8n+1

2n+1

-(

1

2n+3

+

1

2n+5

+…+

1

8n+1

)．
∵

x

1+x

＜ln（1+x）＜x，（x＞0），
∴

1

2n+2

＜ln（2n+2）-ln（2n+1）=ln(1+

1

2n+1

)＜

1

2n+1

，

1

2n+3

＜ln（2n+3）-ln（2n+2）=ln(1+

1

2n+2

)＜

1

2n+2

，
…，

1

8n+1

＜ln（8n+1）-ln（8n）=ln(1+

1

8n

)＜

1

8n

，
∴

1

2n+2

+

1

2n+3

+…+

1

8n+1

＜ln

8n+1

2n+1

＜

1

2n+1

+

1

2n+2

+

1

2n+3

+…+

1

8n

，
一方面：

1

2

ln

8n+1

2n+1

＞

1

2

(

1

2n+2

+

1

2n+3

+

1

2n+4

+…+

1

8n+1

)＞

1

2n+3

+

1

2n+5

+…+

1

8n+1

，
∴T_n-T_4n＞0．
另一方面：

1

2

ln

8n+1

2n+1

＜

1

2

(

1

2n+1

+

1

2n+2

+

1

2n+3

+

1

2n+4

+…+

1

8n

)＜

1

2

(

1

2n+1

+

1

2n+2

)+

1

2n+3

+

1

2n+5

+…+

1

8n-1

+

1

8n+1

-

1

8n+1

＜

1

2n+3

+

1

2n+5

+…+

1

8n+1

+

3

8n

∴

1

2

ln

8n+1

2n+1

-(

1

2n+3

+

1

2n+5

+…+

1

8n+1

)＜

3

8n

．
∴Tn-T4n＜

3

8n

．
综上可知：0＜T_n-T_4n＜

3

8n

．

点评：本题考查了构造函数法、放缩法、利用导数研究函数的单调性、利用已经证明的结论解决问题等基本知识与基本方法．