Question

已知函数f(x)=

1-3x

1+3x

+log3

1-x

1+x

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（1+m）+f（m）＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）使解析式有意义的条件为

1+3x≠0 1-x 1+x ＞0

?-1＜x＜1，
∴函数的定义域为x∈（-1，1）（4分）
（2）函数的定义域关于原点对称，
且f(-x)+f(x)=

1-3-x

1+3x

+log3

1+x

1-x

+

1-3x

1+3x

+log3

1-x

1+x

，（6分）

= 3x-1 3x+1 +log3 1+x 1-x + 1-3x 1+3x +log3 1-x 1+x =0+log31=0

（7分）
即f（-x）+f（x）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数                                       （8分）
（3）设-1＜x₁＜x₂＜1，则y2-y1=

1-3x2

1+3x2

+log3

1-x2

1+x2

-

1-3x1

1+3x1

-log3

1-x1

1+x1

（9分）

= 1-3x2 1+3x2 - 1-3x1 1+3x1 +log3 1-x2 1+x2 -log3 1-x1 1+x1 = (1-3x2)(1+3x1)-(1+3x2)(1-3x1) (1+3x2)(1+3x1) +log3 1-x2 1+x2 • 1+x1 1-x1 = 1-3x2+3x1-3x1+x2-1-3x2+3x1+3x1+x2 (1+3x2)(1+3x1) +log3 1+x1 1+x2 • 1-x2 1-x1

= 2(3x1-3x2) (1+3x2)(1+3x1) +log3 1+x1 1+x2 • 1-x2 1-x1 ∵-1＜x1＜x2＜1 ∴3x1-3x2＜0， 1+x1 1+x2 ＜1， 1-x2 1-x1 ＜1， log3 1+x1 1+x2 • 1-x2 1-x1 ＜0 ∴y2-y1＜0

所以f（x）在（-1，1）上为减函数，（12分）
又∵f（1+m）+f（m）＜0
∴f（1+m）＜-f（m）f（1+m）＜f（-m）
?

1+m＞-m -1＜1+m＜1 -1＜-m＜1

?-

1

2

＜m＜0．（14分）