Question

已知函数f(x)=

1-3x

1+3x

+log3

1-x

1+x

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（1+m）+f（m）＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数的解析式有意义的原则，结合对数的真数部分必须大于0，我们可以构造关于x的不等式组，解不等式组，即可得到答案．
（2）根据函数奇偶性的定义，利用对数的运算性质，判断f（-x）与f（x）的关系，即可得到函数f（x）的奇偶性；
（3）根据函数单调性的定义，利用作差法，我们可以判断出函数f（x）在定义域（-1，1）上的单调性，进而结合（2）的结论，我们可将不等式f（1+m）+f（m）＜0转化为不等式组

1+m＞-m -1＜1+m＜1 -1＜-m＜1

，解不等式组，即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）使解析式有意义的条件为

1+3x≠0 1-x 1+x ＞0

?-1＜x＜1，
∴函数的定义域为x∈（-1，1）（4分）
（2）函数的定义域关于原点对称，
且f(-x)+f(x)=

1-3-x

1+3x

+log3

1+x

1-x

+

1-3x

1+3x

+log3

1-x

1+x

，（6分）

= 3x-1 3x+1 +log3 1+x 1-x + 1-3x 1+3x +log3 1-x 1+x =0+log31=0

（7分）
即f（-x）+f（x）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数                                       （8分）
（3）设-1＜x₁＜x₂＜1，则y2-y1=

1-3x2

1+3x2

+log3

1-x2

1+x2

-

1-3x1

1+3x1

-log3

1-x1

1+x1

（9分）

= 1-3x2 1+3x2 - 1-3x1 1+3x1 +log3 1-x2 1+x2 -log3 1-x1 1+x1 = (1-3x2)(1+3x1)-(1+3x2)(1-3x1) (1+3x2)(1+3x1) +log3 1-x2 1+x2 • 1+x1 1-x1 = 1-3x2+3x1-3x1+x2-1-3x2+3x1+3x1+x2 (1+3x2)(1+3x1) +log3 1+x1 1+x2 • 1-x2 1-x1

= 2(3x1-3x2) (1+3x2)(1+3x1) +log3 1+x1 1+x2 • 1-x2 1-x1 ∵-1＜x1＜x2＜1 ∴3x1-3x2＜0， 1+x1 1+x2 ＜1， 1-x2 1-x1 ＜1， log3 1+x1 1+x2 • 1-x2 1-x1 ＜0 ∴y2-y1＜0

所以f（x）在（-1，1）上为减函数，（12分）
又∵f（1+m）+f（m）＜0
∴f（1+m）＜-f（m）f（1+m）＜f（-m）
⇒

1+m＞-m -1＜1+m＜1 -1＜-m＜1

⇒-

1

2

＜m＜0．（14分）

点评：本题考查的知识点是函数的定义域，函数的单调性和函数的奇偶性，是对数函数图象与性质的综合应用，其中（3）中利用（2）中函数奇偶性的结论及（3）中函数在定义域上的单调性，将抽象不等式f（1+m）+f（m）＜0转化为不等式组

1+m＞-m -1＜1+m＜1 -1＜-m＜1

是解答本题的关键．